Правильная четырехугольная призма, объем которой 65 дм 3 , описана около шара. Вычислите отношение площади полной поверхности призмы и объема шара
Призма называется правильной, если её основаниями являются правильные многоугольники, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Правильным четырехугольником является квадрат. Точка пересечения диагоналей квадрата является его центром, а также центром вписанной в него окружности. Докажем этот факт. хотя это доказательство наврядли будут спрашивать и его можно опустить
Как частный вид параллеограмма, прямоугольника и ромба квадрат обладает их свойствами: диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, и являются биссектрисами углов квадрата. Через точку Е проведем прямую ТК параллельно АВ. АВ перпендикулярна ВС, значит и ТК тоже перпендикулярна ВС (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна какой-либо третей прямой, то и вторая параллельная прямая перпендикулярна этой (третей) прямой). Таким же образом проведем прямую МР. Прямоугольные треугольникик ВЕТ и АЕК равны по гипотенузе и острому углу (ВЕ=АЕ - половины диагоналей, ∠ ЕВТ=∠ ЕАК - половины прямого угла), значит, ЕТ=ЕК. Таким же образом докажем, что ЕМ=ЕР. А из равенства треугольников СЕР и СЕТ (тот же признак) увидим, что ЕТ=ЕР, т.е. ЕТ=ЕР=ЕК=ЕМ или просто сказать, что точка М равноудалена от сторон квадрата, а это и есть необходимое условие для того, чтобы признать её центром вписанной в этот квадрат окружности.
Рассмотрим прямоугольник АВТК (этот четырехугольник является прямоугольником, т.к. все углы в нем прямые по построению). В прямоугольнике противоположные стороны равны - АВ=КТ (нужно отметить, что КТ - диаметр основания) - это значит, что сторона основания равна диаметру вписанной окружности.
Проведем плоскости через параллельные (две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны) АА 1 , СС 1 и ВВ 1 и DD 1 соответственно (параллельные прямые определяют плоскость притом только одну). Плоскости АА 1 С 1 С и ВВ 1 D 1 D перпендикулярны основанию ABCD, т.к. проходят через прямые (боковые ребра) перпендикулярные ему.
Из точки Н (пересечения диагоналей) в плоскости АА 1 С 1 С перпендикуляр к основанию ABCD. Затем проделаем тоже самое в плоскости ВВ 1 D 1 D. Из теоремы: если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости, - получаем, что этот перпендикуляр должен лежать и в плоскости АА 1 С 1 С и в плоскости ВВ 1 D 1 D. Это возможно лишь в том случае, если этот перпендикуляр совпадает с линией пересечения этих плоскостей - НЕ. Т.е. отрезок НЕ является прямой, на которой лежит центр вписанной окружности (т.к. НЕ равноудалена от плоскостей боковых граней, а это в свою очередь следует из равноудаленности точек Е и Н от вершин соответсвующих оснований (по доказанному: точка пересечения диагоналей равноудалена от сторон квадрата), а из того, что НЕ перпендикулярна основаниям можно заключить, что НЕ - диаметр шара. Теорема. В правильную призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда её высота равна диаметру окружности, вписанной в основание. Ну а в нашу призму уже вписан шар, значит её высота равна диаметру окружности, вписанной в основание. Если обозначить сторону основания за а , а высоту призмы за h, то пользуясь этой теоремой, заключаем а =h и тогда объем призмы найдется так:

Далее используя то, что высота равна диаметру вписанного шара и стороне основания призмы, найдем радиус шара а затем его объем:

Нужно сказать, что боковые ребра равны высоте (отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны), а раз высота равна стороне основания, то вообще все ребра призмы равны между собой, а все грани по сути являются квадратами с площадью а 2 . По сути такая фигура называетс кубом - частным случаем параллелепипеда. Осталось найти полную поверхность куба и соотнести ее с объемом шара:

2. Сторона основания

Задачи

1. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 5.

Ответ: 62.

2. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Ответ: 10.

3. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если стороны ее основания равны 3, а площадь поверхности равна 66.

Ответ: 4.

4. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 32.

5. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Прямая призма (шестиугольная правильная)

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, а основания – равные квадраты.

1. Боковые грани – равные прямоугольники

2. Сторона основания

Задачи

1. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны .

Ответ: 4,5.

2. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3, а высота равна 6.

Ответ: 108.

3. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны √3.

Ответ: 13.5

4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Прямая призма (произвольная n -угольная)

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, а основания – равные n-угольники.

1. Если основанием является правильный многоугольник, то боковые грани – равные прямоугольники.

2. Сторона основания .

Пирамида

Пирамида –многогранник, составленный из n-угольника A1A2...AnA1 и n треугольников (A1A2P, A1A3P и т.д.).

1. Сечение, параллельное основанию пирамиды, представляет собой многоугольник, подобный основанию. Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды.

2. Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

3. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

4. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

5. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Задачи

1. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Ответ: 8.

2. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: 360.

5. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Ответ: 27.

6. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

Ответ: 0,25.

7. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 4,5.

8. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Боковое ребро равно 5. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 32.

9. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро пирамиды.

Ответ: 13.

10. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6, боковые ребра равны 5. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Ответ: 84.

11. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

12. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Ответ: 4.

13. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 12. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от нее плоскостью, проходящей через диагональ основания и середину противоположного бокового ребра.

Ответ: 3.

14. Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его ребра уменьшить в два раза?

Ответ: 8.

15. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Ответ: 10.

16. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

Ответ: 3.

17. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Ответ: 256.

18. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Ответ: 3.

Цилиндр

Цилиндр - тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами.

H

R

Объем тела	Площадь боковой поверхности	Площадь основания	Площадь полной поверхности

1. Образующие цилиндра - отрезки образующих, заключенные между основаниями.

2. Высота цилиндра - длина образующей.

3. Осевое сечение – прямоугольник, две стороны которого образующие, а две другие - диаметры оснований цилиндра.

4. Круговое сечение – сечение, секущая плоскость которого перпендикулярна к оси цилиндра.

5. Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник, представляющий собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей.

6. Площадь боковой поверхности цилиндра - площадь ее развертки.

7. Площадь полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

8. Около цилиндра всегда можно описать шар. Его центр лежит на середине высоты. , где R – радиус шара, r – радиус основания цилиндра, H – высота цилиндра.

9. В цилиндр можно вписать шар, если диаметр основания цилиндра равен его высоте, .

Задачи

1. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Ответ: 3.

2. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого равна 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30о.

Ответ: 3.

3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 50.

Ответ: 150.

4. Воду, находящуюся в цилиндрическом сосуде на уровне 12 см, перелили в цилиндрический сосуд, в два раза большего диаметра. На какой высоте будет находиться уровень воды во втором сосуде?

5. Площадь осевого сечения цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Ответ: 2.

6. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 32.

7. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Ответ: 1,125.

9. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Ответ: 2.

Конус

Конус - тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.

ось конуса

Р

вершина

образующие

боковая поверхность

r

Объем тела	Площадь боковой поверхности	Площадь основания	Площадь полной поверхности

1. Площадь боковой поверхности конуса – площадь ее развертки.

2. Связь между углом развертки и углом при вершине осевого сечения .

1. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 50.

Ответ: 150.

2. Найдите объем конуса, площадь основания которого равна 2, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30о.

Ответ: 2.

3. Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

Ответ: 1,5.

4. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Ответ: 2.

5. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на .

Ответ: 128.

6. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 48.

Ответ: 16.

7. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

8. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

9. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Сфера и шар

Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Шар – тело, ограниченное сферой.

1. Сечение сферы плоскостью есть окружность, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

2. Сечение шара плоскостью есть круг.

3. Касательная плоскость к сфере – плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

4. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

5. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

6. Многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней.

7. Отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

8. Сфера вписана в цилиндрическую поверхность, если она касается всех ее образующих.

9. Сфера вписана в коническую поверхность, если она касается всех ее образующих.

Задачи

1. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Ответ: 10.

2. Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?

4. Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 6.

5. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 96.

6. Куб вписан в шар радиуса . Найдите площадь поверхности куба.

Ответ: 24.

7. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2. Найдите его объем.

8. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Ответ: 3.

9. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равна 96. Найдите радиус сферы.

Ответ: 2.

10. Около шара описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 9. Найдите площадь поверхности шара.

Ответ: 9.

11. Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Ответ: 3.

12. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

Ответ: 8.

Составные многогранники

Задачи

1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и C2 .

Ответ: 3.

2. Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60.

3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 18.

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 132

5. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Ответ: 30

6. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ:8

7.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 78

8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла ABB3.

Ответ: 2

10. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла C3D3B3.

Ответ: 3

11. Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 37.

Ответ: 74.

12. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами B2 и D3 .

Ответ: 11.

Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Чтобы построить центр О этого шара, нужно:

1. Найти центр О, окружности, описанной около основания.

2. Через точку О, провести прямую, перпендикулярную плоскости основания.

3. Через середину любого бокового ребра пирамиды провести плоскость, перпендикулярную этому ребру.

4. Найти точку О пересечения построенных прямой и плоскости.

Частный случай: боковые ребра пирамиды равны. Тогда:

шар описать можно;

центр О шара лежит на высоте пирамиды;

Где - радиус описанного шара; - боковое ребро; Н - высота пирамиды.

5.2. Шар и призма

Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры описанных около оснований окружностей.

где - радиус описанного шара; - радиус описанной около основания окружности; Н - высота призмы.

5.3. Шар и цилиндр

Около цилиндра шар можно описать всегда. Центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.

5.4. Шар и конус

Около конуса шар можно описать всегда. Центром шара; служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сферы, описанные около многогранников.

Определение. Многогранник называется вписанным в сферу (а сфера описанной около многогранника), если все вершины многогранника принадлежат этой сфере. Следствие. Центр описанной сферы есть точка, равноудаленная от всех вершин многогранника. O O O . . .

Теорема 1. Множество точек равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках, проходящая через его середину (плоскость серединных перпендикуляров к этому отрезку). AB ┴ α AO=OB α A B O

Теорема 2. Множество точек, равноудаленных от n заданных точек, лежащих на одной окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек, проходящая через центр описанной около них окружности. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .

Призма вписанная в сферу. OA=OB=…=OX=R сф. O 1 . O . O сф a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1 . .A .B .C .D E. X. a a 1 . O . O 1

Следствия. 1)Около прямой треугольной призмы можно описать сферу, т.к. около треугольника всегда можно описать окружность. 2) Около любой правильной призмы можно описать сферу, т.к. правильная призма является прямой и около правильного многогранника всегда можно описать окружность. O . O . .

Задача №1. Шар описан около призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковое ребро призмы равно 24. Найдите Радиус шара. Дано: ∆ ABC – прямоугольный; AC=6, BC=8, AA 1 =24. Найти: R ш = ? Решение: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 =AA 1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O ш OB: R ш = O ш B=√OO ш 2 + OB 2 = = √144+25=13 Ответ: 13. О 1 О. . . R ш О ш С 1 B 1 A 1 A С B

Задача №3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,3 и 5. Найдите радиус описанного шара. Дано:AB=a=2; BC=b=3; CC 1 =c=5. Найти: R ш = ? Решение: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2 . 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда) 3) A 1 C=√38; R ш = O ш C = √38 /2 Ответ: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . O ш

Задача №3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, а боковое ребро равно 2 a . Найдите радиус описанного шара. Дано: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Найти: R ш = ? Решение: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R ш =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Ответ: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O ш R ш. O O 1

Следствия. 1)Около треугольной пирамиду всегда можно описать сферу, так как около треугольника всегда можно описать окружность. 2)Около правильной пирамиды всегда можно описать сферу. 3)Если боковые ребра пирамиды равны (одинаково наклонены к основанию), то около такой пирамиды всегда можно описать сферу. *В последних двух случаях центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. O . O .

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Около пирамиды PABC , основание которой – правильный треугольник ABC со стороной 4√3, описан шар. Боковое ребро PA перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно 6. Найти радиус шара. Дано: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Найти: R ш = ? Решение: 1) OO СФ ┴(ABC); O – центр описанной около ∆ABC окружности; K O СФ ┴ PA; KP=AK (KO СФ Один из серединных перпендикуляров к боковому ребру PA); O СФ – центр описанного шара. 2) OO СФ ┴(ABC); OO СФ принадлежит (AKO) ; PA ┴(ABC); AK принадлежит (AKO) ; значит KA|| OO СФ; . O СФ. O K. P. A. B .C

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). 3) KO c ф ┴AP; KO c ф принадлежит (AOK); AO ┴AP; AO принадлежит (AOK) ; значит KO c ф || AO; 4) Из (2) и (3) : AOO c ф K- прямоугольник, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c ф: AO c ф = R ш =5 Ответ: 5

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 ˚ . Высота пирамиды равна h . Найдите радиус описанной сферы. Дано: PABCD – правильная пирамида; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=h . Найти: R ш = ? Решение: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP 1 – прямоугольный; PP 1 – диаметр шара; PP 1 = 2 R ш; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 =2 R ш *h; R ш = 2h 2 /2h=h. Ответ: h . C . B A. .D .P .P 1 . O

Задачи (сфера, описанная около пирамиды) . Самостоятельно. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра равен R . Найдите площадь полной поверхности тетраэдра.

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. Дано: DABC – правильный тетраэдр; R – радиус сферы. Найти: S полн.тетр. =? Решение: 1) Так как тетраэдр правильный, то центр описанной сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды; 2) S полн.тетр. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Точки D, A, D 1 принадлежат одной окружности – сечению сферы плоскостью DAD 1 , значит угол DAD 1 - вписанный угол, опирающийся на диаметр, DD 1 ; угол DAD 1 =90 ˚; 4) AO – высота ∆ ADD 1 , проведенная из вершины прямого угла. AD 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/ √ 3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 = 8R 2 /3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. 6) S полн.тетр. = 8R 2 √ 3/3 Ответ: 8R 2 √ 3/3

Тема “Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар” является одной из самых сложных в курсе геометрии 11 класса. Перед тем, как решать геометрические задачи, обычно изучают соответствующие разделы теории, на которые ссылаются при решении задач. В учебнике С.Атанасяна и др. по данной теме (стр. 138) можно найти только определения многогранника, описанного около сферы, многогранника, вписанного в сферу, сферы, вписанной в многогранник, и сферы, описанной около многогранника. В методических рекомендациях к этому учебнику (см. книгу “Изучение геометрии в 10–11-х классах” С.М.Саакяна и В.Ф.Бутузова, стр.159) сказано, какие комбинации тел рассматриваются при решении задач № 629–646, и обращается внимание на то, что “при решении той или иной задачи прежде всего нужно добиться того, чтобы учащиеся хорошо представляли взаимное расположение указанных в условии тел”. Далее приводится решение задач №638(а) и №640.

Учитывая все выше сказанное, и то, что наиболее трудными для учащихся являются задачи на комбинацию шара с другими телами, необходимо систематизировать соответствующие теоретические положения и сообщить их учащимся.

Определения.

1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

2. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).

(Из этого определения следует, что в любое осевое сечение этих тел может быть вписана окружность большого круга шара).

4. Шар называется описанным около цилиндра, усеченного конуса (конуса), если окружности оснований (окружность основания и вершина) принадлежат поверхности шара.

(Из этого определения следует, что около любого осевого сечения этих тел может быть описана окружность большего круга шара).

Общие замечания о положении центра шара.

1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.

2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.

Комбинация шара с призмой.

1. Шар, вписанный в прямую призму.

Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.

Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.

2. Шар, описанный около призмы.

Теорема 2. Шар можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Следствие 1 . Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания.

Следствие 2. Шар, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с призмой можно предложить задачи № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).

Комбинация шара с пирамидой.

1. Шар, описанный около пирамиды.

Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.

Следствие 1. Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через сере дину этого ребра.

Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.Центр этого шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.

Следствие 3. Шар, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов.

2. Шар, вписанный в пирамиду.

Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с пирамидой можно предложить задачи № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.

Комбинация шара с усеченной пирамидой.

1. Шар, описанный около правильной усеченной пирамиды.

Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым)

2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.

Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

На комбинацию шара с усеченной пирамидой в учебнике Л.С.Атанасяна есть всего лишь одна задача (№ 636).

Комбинация шара с круглыми телами.

Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар.

Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.

Теорема 9. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.

Теорема 10. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с круглыми телами можно предложить задачи № 642, 643, 644, 645, 646.

Для более успешного изучения материала данной темы необходимо включать в ход уроков устные задачи:

1. Ребро куба равно а. Найти радиусы шаров: вписанного в куб и описанного около него. (r = a/2, R = a3).

2. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д) наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)

3. Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)

4. Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой четырёхугольной пирамиды)

5. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу? (В её основании должен лежать многоугольник, около которого можно описать окружность)

6. В сферу вписана пирамида, боковое ребро которой перпендикулярно основанию. Как найти центр сферы? (Центр сферы – точка пересечения двух геометрических мест точек в пространстве. Первое – перпендикуляр, проведённый к плоскости основания пирамиды, через центр окружности, описанной около него. Второе – плоскость перпендикулярная данному боковому ребру и проведённая через его середину)

7. При каких условиях можно описать сферу около призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых, призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция должна быть равнобедренной, чтобы около неё можно было описать окружность)

8. Каким условиям должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу? (Призма должна быть прямой, и её основанием должен являться многоугольник, около которого можно описать окружность)

9. Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне призмы. Какой треугольник является основанием призмы? (Тупоугольный треугольник)

10. Можно ли описать сферу около наклонной призмы? (Нет, нельзя)

11. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, будет находится на одной из боковых граней призмы? (В основании лежит прямоугольный треугольник)

12. Основание пирамиды – равнобедренная трапеция.Ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания – точка, расположенная вне трапеции. Можно ли около такой трапеции описать сферу? (Да, можно. То что ортогональная проекция вершины пирамиды расположена вне её основания, не имеет значения. Важно, что в основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция – многоугольник, около которого можно описать окружность)

13. Около правильной пирамиды описана сфера. Как расположен ее центр относительно элементов пирамиды? (Центр сферы находится на перпендикуляре, проведенном к плоскости основания через его центр)

14. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, лежит: а) внутри призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а) остроугольный треугольник; б) тупоугольный треугольник)

15. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)

16. В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В усечённый конус, в осевое сечение которого можно вписать окружность. Осевым сечением конуса является равнобедренная трапеция, сумма её оснований должна равняться сумме её боковых сторон. Другими словами, у конуса сумма радиусов оснований должна равняться образующей)

17. В усеченный конус вписана сфера. Под каким углом образующая конуса видна из центра сферы? (90 градусов)

18. Каким свойством должна обладать прямая призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? (Во-первых, в основании прямой призмы должен лежать многоугольник, в который можно вписать окружность, и, во-вторых, высота призмы должна равняться диаметру вписанной в основание окружности)

19. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу? (Например, четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольник или параллелограмм)

20. В основании прямой призмы лежит ромб. Можно ли в эту призму вписать сферу? (Нет, нельзя, так как около ромба в общем случае нельзя описать окружность)

21. При каком условии в прямую треугольную призму можно вписать сферу? (Если высота призмы в два раза больше радиуса окружности, вписанной в основание)

22. При каком условии в правильную четырехугольную усеченную пирамиду можно вписать сферу? (Если сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину стороны основания перпендикулярно ей, является равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность)

23. В треугольную усеченную пирамиду вписана сфера. Какая точка пирамиды является центром сферы? (Центр вписанной в данную пирамиду сферы находится на пересечении трёх биссектральных плоскостей углов, образованных боковыми гранями пирамиды с основанием)

24. Можно ли описать сферу около цилиндра (прямого кругового)? (Да, можно)

25. Можно ли описать сферу около конуса, усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно, в обоих случаях)

26. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу? (Нет, не во всякий: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом)

27. Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как определить положение центра сферы, вписанной в конус? (Да, во всякий. Центр вписанной сферы находится на пересечении высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей к плоскости основания)

Автор считает, что из трех уроков, которые отводятся по планированию на тему “Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар”, два урока целесообразно отвести на решение задач на комбинацию шара с другими телами. Теоремы, приведенные выше, из-за недостаточного количества времени на уроках доказывать не рекомендуется. Можно предложить учащимся, которые владеют достаточными для этого навыками, доказать их, указав (по усморению учителя) ход или план доказательства.