Билет 2

Вопрос 1

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны )

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол А равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 , докажем, что треугольники равны.

Так как А 1 В 1 равно А 1 В 2 , то вершина В 2 совпадет с В 1. Так как угол В 1 А 1 С 1 равен углу В 2 А 1 С 2, то луч А 1 С 2 совпадет с А 1 С 1 . Так как А 1 С 1 равен А 1 С 2 , то С 2 совпадет с С 1. Значит треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает стреугольниом А 1 В 2 С 2 , значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 – два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.

Пусть А 1 В 2 С 2 – треугольник, равный АВС, с вершины В 2 на луче А 1 В 1 и вершины С 2 в той же полуплоскости относительно прямой А 1 В 1 , где лежит вершина С 1 .

Так как А 1 В 2 равно А 1 В 1 , то вершина В 2 совпадет с В 1. Так как угол В 1 А 1 С 2 равен углу В 1 А 1 С 1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А 1 С 2 совпадет с А 1 С 1 , а В 1 С 2 совпадет с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина С 2 совпадет с С 1. Значит треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает стреугольниом А 1 В 2 С 2 , значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам (Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 – два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 , и ВС равно В 1 С 1 . Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А 1 , угол В не равен углу В 1, и угол С не равен углу С 1 . Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А 1 В 1 С 2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С 1 относительно прямой А 1 В 1 .

Пусть D – середина отрезка С 1 С 2 . Треугольники А 1 С 1 С 2 и В 1 С 1 С 2 – равнобедренные с общим основанием С 1 С 2 . Поэтому их медианы А 1 D и В 1 D – являются высотами, значит прямые А 1 D и В 1 D – перпендикулярны прямой С 1 С 2. Прямые А 1 D и В 1 D не совпадают, так как точки А 1, В 1 , D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С 1 С 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 AB - общая сторона, AC = AC 1 , С = С 1 , однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 С = С 1 , AB = A 1 B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1 . Учитывая, что С = С 1 , имеем равенство A = A 1 . Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AB = A 1 B 1 , A = A 1 , B = B 1 .

Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 (H = H 1 = 90 o ), в которых

AB = A 1 B 1 , B = B 1 , AH = A 1 H 1

(рис. 5). На продолжениях сторон BH и B 1 H 1 отложим неравные отрезки HC и H 1 C 1 . Тогда в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AB = A 1 B 1 , B = B 1 ,

высоты AH и A 1 H 1 равны, однако сами треугольники не равны.

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,

медиана СM равна медиане С 1 M 1 (рис. 6). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M 1 D 1 = C 1 M 1 (рис. 6).

Четырехугольники ACBD и A 1 С 1 B 1 D 1 - параллелограммы. Треугольники ACD и A 1 C 1 D

ACD = A 1 C 1 D 1 .

Аналогично, треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам. Следовательно,

BCD = B 1 C 1 D 1 .

Значит, С = С 1 и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).

Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8). Проведем два диаметра AB и A 1 B 1 . Через точки A , A 1 , M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C , как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A 1 B 1 C

AB = A 1 B 1 , A = A 1 ,

медиана СM ABC и A 1 B 1 C не равны.

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 , медиана BK равна медиане B 1 K 1 (рис. 9). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Точки O и O 1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2: 1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO = B 1 A 1 O 1 ,

значит, треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC = A 1 B 1 C 1 .

Аналогично доказывается, что

BAC = B 1 A 1 C 1 .

Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 10).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O 1 и O 2 , касающиеся друг друга в точке M (рис. 11).

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM , пересекающую вторую окружность в некоторой точке C . Проведем отрезок BC . Получим треугольник ABC . Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2: 1, считая от вершины C . Проведем окружность с центром в точке O , радиуса OC , пересекающую вторую окружность в точке C 1 . Проведем прямую C 1 M и обозначим A 1 ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K 1 точку пересечения хорды A 1 B и прямой C 1 O . В треугольниках ABC и A 1 BC 1 A = A 1 , медианы CK и C 1 K 1 равны, медиана BM - общая. Однако треугольники ABC и A 1 BC 1 не равны.

Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,

биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Продолжим стороны AC и A 1 C 1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C 1 E 1 = B 1 C 1 (рис. 12). Тогда

Треугольники BCE и B 1 C 1 E 1 равны по трем сторонам. Значит, E = E 1 и BE = B 1 E 1 . Треугольники ABE и A 1 B 1 E 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).

Пример треугольников ABC и ABC 1 , изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Действительно, в треугольниках ABC и ABC 1 B - общий, AB - общая сторона, биссектрисы AD и AD 1 равны. Однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 15).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB , больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и M 1 . Проведем прямые BM , BM 1 и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 сторона AB - общая, высота BH - общая, медианы AM и AM 1 равны, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1 , медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны (рис. 17). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, F A = F A 1 и AH = A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники CMH и C 1 M 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M 1 H 1 , откуда AM = A 1 M 1 , значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны медианы AK и A 1 K 1 , BL и B 1 L 1 , CM и C 1 M 1 (рис. 18). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Пусть O и O 1 - точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O 1 M 1 треугольников ABO и A 1 B 1 O 1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны, значит, AB = A 1 B 1 .

Аналогично доказывается, что BC = B 1 C 1 и AC = A 1 C 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.

Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны высоты AH и A 1 H 1 , BG и B 1 G 1 , CF и C 1 F 1 (рис. 19). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Обозначим стороны треугольников соответственно a , b , c и a 1 , b 1 , c 1 , а соответствующие высоты h a , b b , h c и h 1a , h 1b , h 1c . Имеют место равенства ah a = bh b = ch c и a 1 h 1a = b 1 h 1b = c 1 h 1c . Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.

С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии; сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур — важная задача во всех сферах строительства.

Применение навыка на практике

Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.

Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.

Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.

Замерив длину двух сторон и между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.

Важно! Фигуры называются одинаковыми, если отрезки, образующие их стороны, и углы равны между собой. Подобными называются те фигуры, у которых стороны и углы пропорциональны. Таким образом, равенство — это подобие с коэффициентом пропорциональности 1.

Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:

• первый признак равенства: два треугольника можно считать одинаковыми, если равны две их стороны, а также угол между ними.
• второй признак равенства треугольников: два треугольника будут одинаковыми, если одинаковы два угла, а также соответствующая сторона между ними.
• третий признак равенства треугольников: треугольники можно считать одинаковыми, когда все их стороны имеют равную длину.

Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.

Доказательство 1 признака

Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.

Рассмотрим два треугольника — KMN и K 1 M 1 N 1 . Сторона КМ имеет такую же длину как и K 1 M 1 , а KN = K 1 N 1 . А угол MKN равен углам KMN и M 1 K 1 N 1 .

Если рассматривать KM и K 1 M 1, KN и K 1 N 1 как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K 1 M 1 и K 1 N 1 из точки K 1 в точку К. Вследствие этого переноса лучи K 1 M 1 и K 1 N 1 полностью совпадут. Отложим на луче K 1 M 1 отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K 1 M 1 то точки М и M 1 совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K 1 N 1 . Таким образом, перенося K 1 M 1 N 1 так, что точки K 1 и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.

Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.

Доказательство 2 признака

Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.

Доказательство 2 признака

Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — одинаковы.

Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.

Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.

Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS — две одинаковые фигуры.

Доказательство 3 признака

Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.

Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:

Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.

Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:

• все три стороны;
• обе стороны и угол между ними;
• оба угла и сторона между ними.

Использование признака равенства треугольников для решения задач

Следствия первого признака

В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.

1. . Тот факт, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их на две одинаковые части — следствие признаков равенства и вполне поддается доказательству.Стороны дополнительного треугольника (при зеркальном построении, как в доказательствах, которые мы выполняли) — сторонам главного (стороны параллелограмма).
2. Если есть два прямоугольных треугольника, у которых одинаковые острые углы, то они подобны. Если при этом катет первого равен катету второго, то они равны. Понять это довольно легко — у любых прямоугольных треугольников есть прямой угол. Поэтому признаки равенства для них более просты.
3. Два треугольника с прямыми углами, у которых два катета имеют одинаковую длину, можно считать одинаковыми. Это связано с тем, что между двумя катетами угол всегда равен 90 градусов. Поэтому по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) все треугольники с прямыми углами и одинаковыми катетами — равны.
4. Если есть два прямоугольных треугольника, и у них один катет и гипотенуза равны, значит и треугольники одинаковы.

Докажем эту простую теорему.

Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с — гипотенуза; a, b — катеты. У второго стороны n, m, l, где l — гипотенуза; m, n — катеты.

По теореме Пифагора один из катетов равен:

;

.

Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Отметим еще одно важное следствие. Если есть два равных треугольника, и они подобны с коэффициентом подобия k, то есть попарные отношения всех их сторон равны k, то отношение их площадей равно k2 .

Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс

Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников

Вывод

Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.